两种在 1 km 球内塞卫星的方案，同样的安全距离 Rmin = 100 m、同样的球半径 Rmax = 1000 m、同样的轨道高度 650 km（a ≈ 7028 km）。
差别只在一件事：卫星之间的相对轨道是 2:1 的椭圆，还是正圆。拖动画面可旋转视角；下方的三条要点会随动画轮播。
轨道周期只由半长轴决定：T = 2π√(a³/μ)。哪怕半长轴只差 1 m，每圈就落后约 3π·Δa ≈ 9.4 m，一天 14.7 圈累积成 ≈ 140 m/天——几天就跑出 1 km 的球。
所以「不同高度铺开」这个最直觉的方案被第一条就砍掉了。所有卫星必须 同一个半长轴，剩下能用的只有 5 个自由度：偏心率矢量 (δex, δey)、倾角矢量 (δix, δiy)、沿轨偏置 δλ。
右侧的紫色幽灵星故意取 Δa = +10 m（放大 10 倍便于看清），可以看到它一圈圈地被甩到后面。
| 幽灵星 Δa = +10 m | 数值 |
|---|---|
| 已飞行圈数 | 0.00 |
| 相当于天数 | 0.00 天 |
| 沿轨落后距离 | 0 m |
| 若 Δa = 1 m，同样时间落后 | 0 m |
| 换算 | Δa=1 m ⇒ 139 m/天 |
在 Hill 系里相对位置是 ROE 的线性函数：x = −a(δex·cos u + δey·sin u)，y = 2a(δex·sin u − δey·cos u)。y 的系数是 2、x 是 1，所以只用 δe 时卫星画的是 2:1 椭圆——两颗星的间距随相位在 1× 和 2× 之间来回变化。
安全距离必须在整圈都成立，只能按最小值定格距：沿轨方向被迫取 δy = 2·Rmin，每颗星占地 2·Rmin²；而且椭圆只能内切在 Rmax 圆盘里，圆盘一半面积白白空着。
右图给每颗星加上 δi = √3·δe（相位锁定），轨道变成倾斜 60° 平面上的正圆：所有星的间距整圈恒定，整个构型像刚体一样旋转。左右两图各高亮了一对相邻星，看它们的实时间距。
| 高亮星对间距 | 当前 | min | max | 呼吸比 |
|---|---|---|---|---|
| Suncatcher | — | 100 | 200 | 2.000 |
| 最优化平面 | — | 100 | 100 | 1.000 |
能不能用六边形密铺，取决于「间距会不会变」。Suncatcher 不能（间距呼吸，只能按最松相位留余量），最优化平面可以（间距冻结，直接按 Rmin 密铺整个 Rmax 圆盘）。
三项低效相乘：椭圆只占圆盘一半面积 ×2，2:1 轴比让沿轨格距翻倍 ×2，矩形点阵输给六边形 ×1.15，合计 ×4.62（实测 ×4.53，差在圆盘边缘的整数取舍）。
更漂亮的是幂律系数就是纯几何常数：N ≈ a·(Rmax/Rmin)²，Suncatcher 的 a = π/4 ≈ 0.785（论文拟合 0.80），最优化平面的 a = 2π/√3 ≈ 3.627（论文拟合 3.63），即六边形密铺的密度常数。左图阴影是椭圆之外被浪费的圆盘面积。
| 低效来源 | 代价 |
|---|---|
| ① 只用内切 2:1 椭圆（面积 = 圆盘 ½） | ×2 |
| ② 轴比 2:1 ⇒ δy = 2·Rmin（每星 2Rmin²） | ×2 |
| ③ 矩形点阵 vs 六边形（每星 √3/2·Rmin²） | ×1.155 |
| 合计 | ×4.62 |
x(u) = −a(δex·cos u + δey·sin u) y(u) = 2a(δex·sin u − δey·cos u) z(u) = a(δix·sin u − δiy·cos u)只有 δe：x、y 振幅之比 1:2 ⇒ 2:1 椭圆，离心率 √3/2（结构的产物，不是设计参数）。
e_d/i_d、同样的 Ω_d）：所有星落在同一平面，平面倾角 i_local 由 i_d/e_d 决定。取 i_d = √3·e_d ⇒ i_local = 60°，此时 x、z 合成的振幅 a·e_d·√(1+3) = 2a·e_d 正好等于 y 的振幅 ⇒ 正圆，半径 ρ = 2a·e_d。
p(u) = M(u)·δα，两星间距 |M(u)(δα_i − δα_j)| 只取决于 ROE 之差。
间距整圈不变 ⟺ M(u) 是相似变换（旋转 + 均匀缩放）⟺ 集群像刚体转动。
Suncatcher min 间距 100.00 m 呼吸比 max/min = 2.000 N = 81 最优化平面 min 间距 99.99 m 呼吸比 max/min = 1.000 N = 367刚体转动 ⇒ 任意时刻的构型都是初始构型的旋转副本 ⇒ 只要初始构型是六边形密铺（常最小间距下的平面最优排布），整圈都满足 Rmin，且由构造保证星间链路互不遮挡。
数据与推导来源：本仓库 ANALYSIS.md §3（四条约束与 ROE）、§5（最优化平面）、§11（第一性原理推导）；星数与呼吸比由 src/core/designs.js / checks/check_spacing_oscillation.js 复现。投影为正交投影，坐标以集群中心为原点，单位米；大球为 Rmax = 1000 m。